O teorema de Pitágoras

O triângulo retângulo na figura superior esta formado pelos catetos de  medidas a e b e a  hipotenusa c

enunciado do teorema de  Pitágoras:

num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.   

   b² + a² = c²

Esse resultado já era conhecido pelos babilônios da época de Hamurabi, mas atribui-se à Pitágoras (570 a.C. – 495 a.C.)  sua descoberta, pois supõe-se que a demonstração formal foi feita por ele. Não se sabe ao certo o método utilizado por Pitágoras para a demonstração, supõem-se que foi uma prova por comparação de áreas de figuras geométricas, como apresentaremos a seguir.

Demonstrações

O teorema de Pitágoras já teve muitas demonstrações publicadas. O livro The Pythagorean Proposition, de Elisha Scott Loomis, por exemplo, contém 370 demonstrações diferentes. Há uma demonstração no livro Os Elementos, de Euclides. E também ofereceram demonstrações, o matemático indiano Bhaskara Akaria, o polímata italiano Leonardo da Vinci, e o vigésimo presidente dos Estados Unidos, James A. Garfield. O teorema de Pitágoras é tanto uma afirmação a respeito de áreas quanto a respeito de comprimentos, algumas provas do teorema são baseadas em uma dessas interpretações, e outras provas são baseadas na outra interpretação.

Algumas demonstrações do teorema de Pitâgoras

Na construção anterior, a àrea da região azul é igual a   b² + a², a área da região vermelha
é  c²   .  Agora  realizando  a translaçao das partes pode-se conferir que ambas regiões tem a mesma área.


 Animação(demonstração anterior)
outra animação(demonstração) 
(mais outra, criativa)

Outra forma de  demonstrar o teorema de Pitágoras é mediante  o uso da figura a seguir

Perceba que  a área do quadrado vermelho é   a² 
Perceba que a área do quadrado inferior é   b²
A área do quadrado superior é  c² 
 Observando as  parte coloridas é comparando as 3 regiões se pode demonstrar que a área da região superior é igual a soma das outras áreas, ou seja    b² + a² = c²



Diversas demonstrações(inglês)

outras demonstrações(português)

Triângulos Pitágoricos

Um triângulo pitagórico é um triângulo rectângulo, cujos lados são números inteiros e satisfazem o teorema de Pitágoras.  Temos a seguir alguns exemplos:

(3, 4, 5),  ............    9+16 = 25

(5, 12, 13), ............. 25+ 144 = 169

(7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97).......etc etc.

Os triângulos Pitagóricos já se conheciam na antiguidade.

A versão do teorema de  Pitágoras para espaços vetoriais com produto interno, vou  postar posteriormente, quando consiga colocar arquivo doc ou pdf neste blog.