série e sequencias: Triângulo de Sierpiński

Este triângulo foi descrito por Waclaw Sierpinski  em 1915 e obtem-se como limite de um processo recursivo. Para começar o processo partimos de um triângulo equilátero. Em seguida unem-se os pontos médios de cada lado do triângulo, formando 4 triângulos cujos lados estão ligados. Retira-se agora o triângulo central. A recursão consiste em repetir indefenidamente o procedimento anterior em relação a cada um dos triângulos obtidos. Alternativamente, podemos também, não retirar o triângulo central,  mas bem pintar  de cor preto como a figura a seguir.

                                             usando nosso conhecimento de séries e sequencias, podemos mostrar que a area total da parte preta da figura tem um valo finito que somente depende do comprimento do lado do triangulo inicial. por outro lado, se calcularmos a soma dos perímetros de todos eles, tende a infinito.