valores extremos : aplicações em processos de otimização.

Neste video se da  uma maneira de resolver o problema de : maximizar ou minimizar funções de uma variável. Este mesmo problema se pode interpretar como um problema de  extremizar funções de duas variáveis, sujeito a uma restrição. Irei resolver posteriormente.

valores extremos de funções de varias variáveis

  seja:  f(x,y) =x^4-3x^2+yx/2 -2y^2+3y

animação 1 (superficie que define a função)

animação 2 (identificando os  pontos máximos e mínimos)

animação 3 ( nesta animação se observa de distintos angulos, como se comporta o vetor gradiente, nos pontos onde temos máximos e mínimos, perceba que o vetor gradiente é estritamente vertical, isto porque

 dado f(x,y), sabemos que  grad(f) = ( df/dx, df/dy) = (0,0)   por condição necessária de pontos extremais.

Logo, seja G(x,y,z) = f(x,y) - z = 0, então
grad(G) = (dG/dx,dG/dy, dG/dz) = (0,0,1) . Por tanto o plano tangente a superfície  z=f(x,y) ou equivalentemente  o plano tangente a  superificie de nivel  G(x,y,z) =0 no ponto de máximo (ou no ponto de mínimo)  é um planto  horizontal .