"Sueños algebricos", mapeando el grupo E8

En la matemática existe 4 familias de álgebras de lie ( álgebras de Lie clásicas)

An ou SU(n+1)
Bn ou SO(2n+1)
Cn ou Sp(2n)
Dn ou SO(2n)

además existe las llamadas álgebras excepcionales que son G2,F4,E6,E7 e E8.

lo curioso e interesante es que estos últimos grupos (o álgebras excepcionales) se puede construir a partir de un tipo de números especiales llamados octonions, estos números son generalizaciones de los cuaternions, y estos a su ves de construye duplicando los números complejos, y como sabemos complejos de construyen usando dos números reales. de allí la necesidad de estudiar todas las propiedades de los octonions. Por ejemplo, G2 es el grupo de automorfismos de los octonions.

por otro lado,en la tentativa de comprender la propiedades de la materia, sus interaccionas, y su estructura fundamental se propone teorías físicas, tal es así que surge la mecánica cuántica. la teoría cuántica de campos y hoy en día la teoría de cuerdas y supercuerdas, considerando se esta ultima como la mejor candidata para formular una teoría
cuántica y consistente de la estructura fundamental de la materia, esto es, la teoría de cuerdas seria aquella que pueda describir en un solo formalismo las 4 interacciones fundamentales, la fuerza nuclear fuerte,débil, la electromagnética y la gravitacional. De otro modo, ella podría explicar el comportamiento de los
quarks, leptons y gravitons.
En la formulación de tales teorías, se busca propiedades como la simetría, esto es practica común en toda teoría física consistente en la tentativa de comprender el mundo real.

En tal sentido para describir el comportamiento de quark e lepton se propone una teoría cuántica de campos (modelo estandar), que considera la simetría su(3) xsu(2) como simetria fundamental.

luego apareció la GUT (gran teoría de unificación) que incluiría todas las 3 interacciones fundamentales a menos la gravitacional, la simetría básica de esta teoría seria SO(10)

finalmente la teoría de supe-cuerdas formulada en 10 dimensiones, una de las 5 teorías de cuerda mas promisora tiene como simetría el grupo E8 X E8.

podemos resumir esto en el siguiente diagrama :
E8 incluye E7 incluye E6 incluye SO(10) X U(1) incluye SU(3) x SU(2)


En recientes artículos publicado en arxiv, por M. Duff, e independientemente por P. Ramond (1), se cuestiona si la simetría fundamental de la naturaleza sea descrita por una álgebra excepcional y no por una álgebra clásica (SU(n) ), puesto que no existe ninguna razón para no ser.

Inclusive, algunos trabajos indican que una teoría de cuerdas consistente en 10 dimensiones necesita del concepto de trialidad 8 dimensional que es realizado explícitamente con la álgebra F4.

Y por ultimo, un trabajo del año pasado (2), demuestra sorprendentemente que la matemática inherente en el calculo de la entropia de los agujeros negros dentro de marco de la teoría de cuerdas necesita la álgebra E7, y esta misma álgebra aparece en en la información cuántica (qubits and entanglement and quantum information); dos asuntos aparentemente disconexos.

Por tal motivo el trabajo laborioso de mapear todas las propiedades algébricas del grupo E8 es importante en Física fundamental. para tal hecho, ellos usaron un super computador que demoró algo de 77 horas para dar los resultados y creando un archivo de 60Gb.

1.-"algebraic dreams", "Exceptional groups and physics" P. Ramond.
2.- "black holes entropy and quantum information". M. Duff and S. Ferrara.